Question

7．已知1=x²+4y²-2xy（x＜0，y＜0），則x+2y的取值范圍為[-2，-1）．

Answer 1

分析 解：根據(jù)題意，令t=x+2y，則x=t-2y，將其代入1=x²+4y²-2xy可得1=（t-2y）²+4y²-2y（t-2y），變形可得12y²-6ty+t²-1=0，分析可得該方程必有負(fù)根，結(jié)合一元二次方程的根的性質(zhì)分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，令t=x+2y，t＜0，則x=t-2y，
將其代入1=x²+4y²-2xy可得1=（t-2y）²+4y²-2y（t-2y），
變形可得：12y²-6ty+t²-1=0，
又由y＜0，則12y²-6ty+t²-1=0必有負(fù)根，
對(duì)于12y²-6ty+t²-1=0，其對(duì)稱軸x=$\frac{t}{4}$＜0，
只需滿足△≥0即可；
必有△=（6t）²-4×12×（t²-1）≥0，解可得-2≤t≤2，
且t²-1＞0，即t²＞1，
又由t＜0，
則t的取值范圍是[-2，-1）；
故答案為：[-2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的應(yīng)用，注意x、y都是負(fù)數(shù)，不能直接用基本不等式．