Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=$\frac{5}{3}$，a_n+2=$\frac{5}{3}$a_n+1-$\frac{2}{3}$a_n （n=1，2，…）．令b_n=a_n+1-a_n．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求b_n；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式變形，即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項公式求b_n；
（2）把b_n代入b_n=a_n+1-a_n，然后利用累加法求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 （1）證明：∵b_n+1=a_n+2-a_n+1=$（\frac{5}{3}{a}_{n+1}-\frac{2}{3}{a}_{n}）$-a_n+1=$\frac{2}{3}$（a_n+1-a_n）=$\frac{2}{3}$b_n．
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{2}{3}$ （n=1，2，3，…），即{b_n}是等比數(shù)列，公比q=$\frac{2}{3}$，
首項b₁=a₂-a₁=$\frac{2}{3}$．∴b_n=$（\frac{2}{3}）^{n}$；
（2）解：a_n+1-a_n=$（\frac{2}{3}）^{n}$．
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+b₁+b₂+…+b_n-1=1+$\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}$+…+（$\frac{2}{3}$）^n-1=$\frac{1×[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}=3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n項和的求法，是中檔題．