Question

20．在△ABC中，設(shè)$\frac{sinA}{sinC}+\frac{sinC}{sinA}=2，tanA+tanB=\sqrt{2}\frac{sinC}{cosA}$．
（Ⅰ）求B 的值
（Ⅱ）求$\frac{^{2}}{ac}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由商的關(guān)系、兩角和的正弦公式化簡$tanA+tanB=\sqrt{2}\frac{sinC}{cosA}$，由誘導(dǎo)公式求出cosB的值，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角B；
（Ⅱ）由正弦定理化簡$\frac{sinA}{sinC}+\frac{sinC}{sinA}=2$，化簡后求出a和c的關(guān)系，由余弦定理表示出b²，代入$\frac{^{2}}{ac}$求值．

解答 解：（Ⅰ）∵$tanA+tanB=\sqrt{2}\frac{sinC}{cosA}$，
∴$\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}=\sqrt{2}\frac{sinC}{cosA}$，
$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{cosAcosB}=\sqrt{2}\frac{sinC}{cosA}$，
$\frac{sin（A+B）}{cosB}=\sqrt{2}sinC$，
又sin（A+B）=sinC≠0，∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）∵$\frac{sinA}{sinC}+\frac{sinC}{sinA}=2$，
∴由正弦定理得，$\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=2$，
則$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac}=2$，即a²+c²=2ac，
化簡得，a=c，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB
=2a²-$\sqrt{2}$a²=（2-$\sqrt{2}$）a²，
∴$\frac{^{2}}{ac}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2$-\sqrt{2}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，商的關(guān)系、兩角和的正弦公式，以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．