Question

10．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等邊三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁=AB，M，N分別是A₁B₁，A₁C₁的中點(diǎn)，則BM與AN所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{7}{10}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 如圖所示，取AC的中點(diǎn)D，A₁C₁的中點(diǎn)D₁，建立空間直角坐標(biāo)系．利用$cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{BN}＞$=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{BN}|}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，取AC的中點(diǎn)D，A₁C₁的中點(diǎn)D₁，建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)AC=2．則A（0，-1，0），M（0，0，2），B（-$\sqrt{3}$，0，0），
N$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，2）$．
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，2），$\overrightarrow{BN}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，2）$．
∴$cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{BN}＞$=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{BN}|}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{7}{10}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、異面直線所成的角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．