Question

10．甲、乙兩盒中各裝有大小相同的小球9個，其中甲盒中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2，3，4；乙盒中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3．學生A從甲盒中取球，學習B從乙盒中取球．
（Ⅰ）若A，B各取一球，求兩人所取的球顏色不同的概率；
（Ⅱ）若每人依次各取2球，稱同一人手中兩球鹽酸相同的取法為成功取法，記成功取法次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對立事件概率計算公式能求出A，B各取一球，兩人所取的球顏色不同的概率．
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）∵甲、乙兩盒中各裝有大小相同的小球9個，
其中甲盒中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2，3，4；
乙盒中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3．學生A從甲盒中取球，學習B從乙盒中取球．
∴A，B各取一球，兩人所取的球顏色不同的概率：
P=1-（$\frac{2}{9}×\frac{3}{9}+\frac{3}{9}×\frac{3}{9}+\frac{4}{9}×\frac{3}{9}$）=$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，1，2，
A取球成功的概率P₁=$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{5}{18}$，
B取球成功的概率P₂=$\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=0）=（1-$\frac{5}{18}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{13}{24}$，
P（X=1）=（1-$\frac{5}{18}$）×$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{18}（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{7}{18}$，
P（X=2）=$\frac{5}{18}×\frac{1}{4}$=$\frac{5}{72}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{13}{24}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{5}{72}$

EX=$0×\frac{13}{24}+1×\frac{7}{18}+2×\frac{5}{72}$=$\frac{19}{36}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．