Question

【題目】有一塊半徑為，圓心角為的扇形鋼板，需要將它截成一塊矩形鋼板，分別按圖1和圖2兩種方案截取（其中方案二中的矩形關于扇形的對稱軸對稱）．

圖1：方案一 圖2：方案二

（1）求按照方案一截得的矩形鋼板面積的最大值；

（2）若方案二中截得的矩形為正方形，求此正方形的面積；

（3）若要使截得的鋼板面積盡可能大，應選擇方案一還是方案二？請說明理由，并求矩形鋼板面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）25（2）（3）方案二,最大值為,理由見解析

【解析】

（1）連接,設,則,,則矩形面積為關于的函數,求出最值即可；

（2）連接,設,利用正弦定理和三角形的對稱性質可得,利用解得,進而求出正方形面積即可；

（3）由（2）得到,求出最大值,與（1）的最值比較即可

解：（1）連接,設,,

則,,

,

,

當,即時,

（2）連接,設,

正方形關于扇形軸對稱,

,

則,

在中,由正弦定理可得,即,

則,

正方形,

,即,則,

代入可得,

則

（3）選擇方案二,

由（2）,對于方案二

,

當,即時,

由（1）,

應選擇方案二