Question

已知定點(diǎn)A（0，-3），動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在y軸上，且∠APQ=

π

2

，點(diǎn)R在直線(xiàn)PQ上且滿(mǎn)足

PQ

=

1

2

QR

．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡C的方程；
（2）傾斜角為

π

4

的直線(xiàn)l₀與軌跡C相切，求切線(xiàn)l₀的方程；
（3）已知切線(xiàn)l₀與y軸的交點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l與軌跡C交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）．若∠MDN為鈍角，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)點(diǎn)R、P、Q的坐標(biāo)分別為 （x，y）、（x₁，0）、（0，y₂），其中x₁≠0．由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列式化簡(jiǎn)得x₁²-x₁x-3y=0，根據(jù)

PQ

=

1

2

QR

，將x₁=-

x

2

代入上式并化簡(jiǎn)整理，即可得到點(diǎn)M的軌跡E所表示的圖形；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出l₀的斜率為

1

2

x₀，從而得到x₀=2，再代入拋物線(xiàn)方程得切點(diǎn)為 （2，1），根據(jù)直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式列式，化簡(jiǎn)即得切線(xiàn)l₀的方程；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直線(xiàn)l的方程并與拋物線(xiàn)方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系列式得x₁+x₂=4k，x₁x₂=4，且△=16k²-16＞0．根據(jù)∠ADB為鈍角可得

DA

•

DB

＜0，將

DA

•

DB

表示成關(guān)于x₁+x₂、x₁x₂和k的式子，化簡(jiǎn)整理得到關(guān)于k的二次不等式，解之即可得到直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為 （x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （x₁，0）（x₁≠0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，y₂），
則

PA

=（-x₁，-3），

PR

=（x-x₁，y），

PQ

=（-x₁，y₂）
∵∠APQ=

π

2

，
∴-x₁（x-x₁）-3y=0，即x₁²-x₁x-3y=0．
由

PQ

=

1

2

QR

，將x₁=-

x

2

代入上式，化簡(jiǎn)得y=

1

4

x² （x≠0），
由此可得點(diǎn)R的軌跡E是拋物線(xiàn)y=

1

4

x²，除頂點(diǎn)外的圖形；
（2）設(shè)切點(diǎn)為 （x₀，y₀），
∵求導(dǎo)數(shù)，得y'=

1

2

x，
∴切線(xiàn)l₀的斜率為

1

2

x₀=tan

π

4

=1，解之得x₀=2，
代入拋物線(xiàn)方程得切點(diǎn)為 （2，1）
∴切線(xiàn)l₀的方程為y-1=x-2，化簡(jiǎn)得x-y-1=0；
（3）∵l₀的切線(xiàn)方程為x-y-1=0，∴令x=0，得x=-1，得G的坐標(biāo)為（0，-1）．
設(shè)l的斜率為k，得l的方程為y=kx-1．
代入拋物線(xiàn)方程消去y，得x²-4kπ+4=0．…①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩根，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=4且△=16k²-16＞0，解之得k²＞1，
∵∠ADB為鈍角，∴

DA

•

DB

＜0．
由

DA

=（x₁，y₁-1），

DB

=（x₂，y₂-1）．
可得：

DA

•

DB

=x₁•x₂+（y₁-1）（y₂-1）＜0，即x₁x₂+（k x₁-2）（kx₂-2）＜0，
∴x₁x₂+k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4＜0，化簡(jiǎn)得k²-2＞0，解之得k＜-

2

或k＞

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求曲線(xiàn)的切線(xiàn)并討論直線(xiàn)的夾角為鈍角的問(wèn)題．著重考查了拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系、曲線(xiàn)的切線(xiàn)求法和向量的數(shù)量積等知識(shí)，屬于難題．