【題目】已知函數(shù)yf(x)在定義域[1,1]上既是奇函數(shù),又是減函數(shù).

(1)求證:對任意x1,x2[11],有[f(x1)f(x2)]·(x1x2)0;

(2)f(1a)f(1a2)0,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)0≤a<1.

【解析】試題分析:(1)由x2∈[﹣1,1],可得﹣x2∈[﹣1,1],利用函數(shù)y=f(x)在定義域[﹣1,1]上是奇函數(shù),又是減函數(shù),即可證明結(jié)論;(2)f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0,等價于a2+a﹣2<0,即可求出實數(shù)a的取值范圍.

解析:

(1)證明:若x1x2=0,顯然不等式成立.

x1x2<0,則-1≤x1<-x2≤1,

因為f(x)在[-1,1]上是減函數(shù)且為奇函數(shù),

所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0.

所以[f(x1)+f(x2)](x1x2)<0成立.

x1x2>0,則1≥x1>-x2≥-1,

同理可證f(x1)+f(x2)<0.

所以[f(x1)+f(x2)](x1x2)<0成立.

綜上得證,對任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1x2)≤0恒成立.

(2)因為f(1-a)+f(1-a2)<0f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),

所以由f(x)在定義域[-1,1]上是減函數(shù),得

解得0≤a<1.

練習(xí)冊系列答案
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下表是1950―1959年我國人口數(shù)據(jù)資料:

如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率,用馬爾薩斯人口增長模型建立我國這一時期的具體人口增長模型,某同學(xué)利用圖形計算器進(jìn)行了如下探究:

由此可得到我國1950―1959年我國這一時期的具體人口增長模型為____________. (精確到0.001)

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