Question

5．已知下列四個命題：
①函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x-lnx（x＞0），則y=f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，1）內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點(diǎn)；
②函數(shù)f（x）=log₂（x+$\sqrt{1+{x^2}}$），g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$不都是奇函數(shù)；
③若函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，則f（7）=-2；
④設(shè)x₁、x₂是關(guān)于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的兩根，則x₁x₂=1，
其中正確命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 判斷函數(shù)零點(diǎn)位置，可判斷①；判斷函數(shù)奇偶性，可判斷②；分析函數(shù)的對稱性和周期性，可判斷③；根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可判斷④．

解答 解：①函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x-lnx（x＞0），
則y=f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，1）內(nèi)f（x）＞0恒成立，此時函數(shù)無零點(diǎn)，
f（1）f（e）＜0，故在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點(diǎn)；
故①正確；
②函數(shù)f（x）=log₂（x+$\sqrt{1+{x^2}}$）定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
f（-x）+f（x）=log₂（-x+$\sqrt{1+{x^2}}$）+log₂（x+$\sqrt{1+{x^2}}$）=log₂1=0，
即f（-x）=-f（x），故為奇函數(shù)；
g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
g（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{{2}^{x}+1}{{1-2}^{x}}$=-g（x），故為奇函數(shù)；
故②錯誤；
③若函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，
則f（1）=-f（3）=f（5）=-f（7），
∴f（7）=-2；
故③正確；
④設(shè)x₁、x₂是關(guān)于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的兩根，則log_ax₁=-log_ax₂，
即log_ax₁+log_ax₂=log_ax₁x₂=0，即x₁x₂=1，
故④正確；
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)求值，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識點(diǎn)，難度中檔．