Question

17．設(shè)偶函數(shù)f（x）的定義域為[-4，0）∪（0，4]，若當(dāng)x∈（0，4]時，f（x）=log₂x，
（1）求出函數(shù)在定義域[-4，0）∪（0，4]的解析式；
（2）求不等式xf（x）＜0得解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，f（-x）=f（x），當(dāng)x∈（0，4]時，f（x）=log₂x，可求x∈[-4，0）的解析式．
（2）根據(jù)定義域的不同，解析式不同，分類解不等式即可．

解答 解：（1）由題意知：f（x）是偶函數(shù)，即f（-x）=f（x），
當(dāng)x∈（0，4]時，f（x）=log₂x，
那么：當(dāng)x∈[-4，0）時，則-x∈（0，4]，
可得：f（-x）=log₂-x，
∵f（-x）=f（x），
∴f（x）=log₂-x，
故得f（x）的函數(shù)解析式為：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，（0＜x≤4）}\\{lo{g}_{2}-x，（-4≤x＜0）}\end{array}\right.$
（2）當(dāng)0＜x≤4時，f（x）=log₂x，
∵0＜x＜1時，f（x）＜0，
不等式xf（x）＜0恒成立．
當(dāng)-4≤x＜0時，f（x）=log₂-x，
∵-4≤x＜-1時，f（x）＞0，
不等式xf（x）＜0恒成立．
綜上所述：不等式的解集為（-4，-1）∪（0，1）．

點(diǎn)評 本題考考查了分段函數(shù)的解析式的求法以及不等式的解集轉(zhuǎn)化為恒成立來求解．屬于基礎(chǔ)題．