【題目】已知橢圓C:()的離心率為,且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作圓的一條切線,交橢圓于另一點(diǎn)P,連接,證明:.
【答案】(1)(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn),由,,結(jié)合求解.
(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可得直線的方程為或,驗(yàn)證即可. 當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,根據(jù)直線與圓相切,得到,設(shè),,則,聯(lián)立,由弦長(zhǎng)公式求得 ,然后由兩點(diǎn)間的距離公式,將韋達(dá)定理代入求得即可.
(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,因?yàn)闄E圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).
所以,,又,
解得,,
所以橢圓C的方程為:.
(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),依題意,可得直線的方程為或.
若直線:,直線:,可得,,,
則,,所以;
其他情況,由對(duì)稱性,同理可得.
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,
∵直線與圓相切,
∴圓心O到直線的距離為,即,
設(shè),,則,
聯(lián)立,消元y,整理得,
則,.
∴,
∵,
,
∴.
∵,
∴.
綜上可知成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,A為C的上頂點(diǎn),過(guò)A的直線l與C交于另一點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)D,O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若,求l的方程;
(2)已知P為AB的中點(diǎn),y軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得?若存在,求Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),的導(dǎo)函數(shù)為.
(1)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)在上單調(diào)遞增;
(2)若,討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠質(zhì)檢部門(mén)要對(duì)該廠流水線生產(chǎn)出的一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),如果檢查到第件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品,則此次檢查通過(guò)且認(rèn)為這批產(chǎn)品合格,如果在尚未抽到第件時(shí)已檢查到不合格品則拒絕通過(guò)且認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.設(shè)這批產(chǎn)品的數(shù)量足夠大,可以認(rèn)為每次檢查查到不合格品的概率都為,即每次抽查的產(chǎn)品是相互獨(dú)立的.
(1)若,求這批產(chǎn)品能夠通過(guò)檢查的概率;
(2)已知每件產(chǎn)品質(zhì)檢費(fèi)用為50元,若,設(shè)對(duì)這批產(chǎn)品的質(zhì)檢個(gè)數(shù)記作,求的分布列;
(3)在(2)的條件下,已知1000批此類產(chǎn)品,若,則總平均檢查費(fèi)用至少需要多少元?(總平均檢查費(fèi)用每批次平均檢查費(fèi)用批數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn) 在曲線:,(為參數(shù),)上運(yùn)動(dòng),以為極軸建立極坐標(biāo)系.直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫(xiě)出曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線與曲線相交于兩點(diǎn),點(diǎn)在曲線上移動(dòng),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某十字路口的花圃中央有一個(gè)底面半徑為的圓柱形花柱,四周斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形.因工程需要,測(cè)量員將使用儀器沿斑馬線的內(nèi)側(cè)進(jìn)行測(cè)量,其中儀器的移動(dòng)速度為,儀器的移動(dòng)速度為.若儀器與儀器的對(duì)視光線被花柱阻擋,則稱儀器在儀器的“盲區(qū)”中.
(1)如圖,斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成正方形,儀器在點(diǎn)處,儀器在上距離點(diǎn)處,試判斷儀器是否在儀器的“盲區(qū)”中,并說(shuō)明理由;
(2)如圖,斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成正方形,儀器從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)移動(dòng),同時(shí)儀器從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)移動(dòng),在這個(gè)移動(dòng)過(guò)程中,儀器在儀器的“盲區(qū)”中的時(shí)長(zhǎng)為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,,為中點(diǎn),點(diǎn)在上且平面,在延長(zhǎng)線上,,交于,且
(1)證明:平面;
(2)設(shè)點(diǎn)在線段上,若二面角為,求的長(zhǎng)度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線,直線l的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),直線l與曲線C分別交于M,N兩點(diǎn).
(1)寫(xiě)出曲線C和直線l的普通方程;
(2)若點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求的值與曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若,且當(dāng)時(shí), 恒成立,求的最大值.()
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