Question

20．某同學(xué)參加學(xué)校自主招生3門課程的考試，假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績概率為$\frac{2}{5}$，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q（p＜q），且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨(dú)立，記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{6}{125}$	x	y	$\frac{24}{125}$

（1）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率及求p，q（p＜q）的值；
（2）求該生取得優(yōu)秀成績課程門數(shù)的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率，求出P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{24}{125}$，p＜q，由此列出方程組能求出結(jié)果．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出該生取得優(yōu)秀成績課程門數(shù)的數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（1）由已知得該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率：
P=1-P（ξ=0）=1-$\frac{6}{125}$=$\frac{119}{125}$．
∵P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{24}{125}$，p＜q，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}（1-p）（1-q）=\frac{6}{125}}\\{\frac{2}{5}pq=\frac{24}{125}}\\{p＜q}\end{array}\right.$，
解得p=$\frac{3}{5}$，q=$\frac{4}{5}$．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{24}{125}$，
P（ξ=1）=$\frac{2}{5}（1-\frac{3}{5}）（1-\frac{4}{5}）$+（1-$\frac{2}{5}$）×$\frac{3}{5}×（1-\frac{4}{5}）$+（1-$\frac{2}{5}$）×（1-$\frac{3}{5}$）×$\frac{4}{5}$=$\frac{37}{125}$，
P（ξ=2）=$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×（1-\frac{4}{5}）$+$\frac{2}{5}×（1-\frac{3}{5}）×\frac{4}{5}$+（1-$\frac{2}{5}$）×$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{58}{125}$，
∴Eξ=0×$\frac{6}{125}+1×\frac{37}{125}+2×\frac{58}{125}+3×\frac{24}{125}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想、整體思想，是中檔題．