Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AB，
（1）若E為PA的中點，求異面直線AC與BE所成角的余弦值；
（2）若點F在側(cè)棱PC上，二面角F-BD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\frac{PF}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AC與BE所成角的余弦值．
（2）求出平面BDC的法向量和平面BDF的法向量，利用向量法能求出$\frac{PF}{PC}$的值．

解答 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PD=AB=2，則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），
P（0，0，2），E（1，0，1），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，-2，1），
設(shè)異面直線AC與BE所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴異面直線AC與BE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（2）平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)F（0，b，c），$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PC}$，λ∈[0，1]，
則（0，b，c-2）=λ（0，2，-2），解得b=2λ，c=2-2λ，
∴F（0，2λ，2-2λ），$\overrightarrow{DF}$=（0，2λ，2-2λ），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
設(shè)平面BDF的法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=2λy+（2-2λ）z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\frac{λ}{1-λ}$），
∵二面角F-BD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|\frac{λ}{1-λ}|}{\sqrt{2+（\frac{λ}{1-λ}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由λ∈[0，1]，解得$λ=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{PF}{PC}$=$λ=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查兩線段的比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．