Question

2．在條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，下，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為40，則$\frac{5}{a}+\frac{1}$的最小值是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由約束條件作差可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)可得即$\frac{a}{5}+\frac{4}=1$．再由$\frac{5}{a}+\frac{1}$=（$\frac{5}{a}+\frac{1}$），展開(kāi)后利用基本不等式求最值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$作差可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得A（8，10），
由z=ax+by，得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖可知，當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為8a+10b=40，
即$\frac{a}{5}+\frac{4}=1$．
∴$\frac{5}{a}+\frac{1}$=（$\frac{5}{a}+\frac{1}$）（$\frac{a}{5}+\frac{4}$）=$\frac{5}{4}+（\frac{5b}{4a}+\frac{a}{5b}）≥\frac{5}{4}+2\sqrt{\frac{5b}{4a}•\frac{a}{5b}}=\frac{5}{4}+2×\frac{1}{2}=\frac{9}{4}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{5b}{4a}=\frac{a}{5b}$時(shí)上式等號(hào)成立．
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．