分析 (1)連接AC,推導(dǎo)出CD⊥AE,PA⊥CD,由此能證明CD⊥平面PAE.
(2)過點(diǎn)B作BG∥CD,分別與AE,AD相交于點(diǎn)F,G,連接PF,以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值.
解答 證明:(1)連接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC=5,
又AD=5,E是CD得中點(diǎn),
所以CD⊥AE,
PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD.
所以PA⊥CD,
而PA,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,
所以CD⊥平面PAE.
(2)過點(diǎn)B作BG∥CD,分別與AE,AD相交于點(diǎn)F,G,連接PF,
由CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE,
則∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角,且BG⊥AE.
由PA⊥平面ABCD知,∠PBA即為直線PB與平面ABCD所成的角.
∴∠PBA=45°,∴PA=AB=4,
以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
平面APD的法向量$\overrightarrow{n}$=(1,0,0),
P(0,0,4),D(0,5,0),C(4,3,0),
$\overrightarrow{PD}$=(0,5,-4),$\overrightarrow{PC}$=(4,3,-4),
設(shè)平面PDC的法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=5y-4z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=4x+3y-4z=0}\end{array}\right.$,取y=4,得$\overrightarrow{m}$=(2,4,5),
設(shè)二面角A-PD-C的平面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{45}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{15}$.
∴二面角A-PD-C的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{15}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | {1,2,3} | B. | {-2,-1,0,1,2} | C. | {1,2} | D. | {-2,-1} |
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A. | $\frac{\sqrt{2}}{5}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{5}$ | C. | $\frac{4}{5}$ | D. | $\frac{3}{5}$ |
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