Question

8．已知偶函數(shù)f（x）（x≠0）的導函數(shù)為f′（x），且滿足f（1）=0，當x＞0時，xf′（x）＜2f（x），則使f（x）＞0成立的x的取值范圍為（-1，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，利用導數(shù)得到，g（x）在（0，+∞）是減函數(shù)，再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．

解答 解：根據(jù)題意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，
又由f（x）為偶函數(shù)，則g（-x）=$\frac{f（-x）}{{（-x）}^{2}}$=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，故g（x）為偶函數(shù)，
且g′（x）=$\frac{f′（x）•{x}^{2}-f（x）•（{x}^{2}）′}{{x}^{4}}$=$\frac{f′（x）•x-2f（x）}{{x}^{3}}$，
又由當x＞0時，xf′（x）＜2f（x），則當x＞0時，g′（x）＜0，
所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又f（1）=0，所以g（1）=$\frac{f（1）}{1}$=0，且g（x）為偶函數(shù)，
則有|x|＜1，解可得x∈（-1，0）∪（0，1）；
即g（x）在（-1，0）∪（0，1）的函數(shù)值大于零，
則f（x）在（-1，0）∪（0，1）的函數(shù)值大于零．
故答案為：（-1，0）∪（0，1）．

點評 本題考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，關鍵是構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，想到通過構造函數(shù)解決．