Question

11．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，asinA+csinC-$\sqrt{2}$asinC=bsinB．
（Ⅰ）求B
（Ⅱ）若cosA=$\frac{1}{3}$，求sinC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)asinA+csinC-$\sqrt{2}$asinC=bsinB，利用余弦定理即可求出角B的大��；
（Ⅱ）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，利用三角形內(nèi)角和與兩角和的正弦公式即可求出sinC．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，asinA+csinC-$\sqrt{2}$asinC=bsinB，
由正弦定理得a²+c²-$\sqrt{2}$ac=b²，
由余弦定理得
cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}ac}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）由cosA=$\frac{1}{3}$，且A∈（0，π），
∴sinA=$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinC=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦、余弦定理以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，三角形內(nèi)角和與兩角和的正弦公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．