Question

（本小題滿分12分）已知橢圓（）的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求的方程．

Answer 1

（1） ;（2）.

【解析】

試題分析：（1） 由題意，∴ 又，可求，從而可求橢圓方程；

（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)及原點(diǎn)到直線的距離，求出面積表達(dá)式，再利用基本不等式求得的最大值及此時(shí)的的值即可.

試題解析：（1）設(shè)，由題意，

∴，又∵離心率，∴，

∴，橢圓的方程為；

（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，方程為，

聯(lián)立直線與橢圓方程：，化簡(jiǎn)得：，

由，∴，

設(shè)，則 ，

∴，

坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，

，

令，則 ，

∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

∴，故當(dāng)， 即，，

∴時(shí)的面積最大，

此時(shí)直線的方程為

考點(diǎn)：橢圓的定義、幾何性質(zhì)，直線與橢圓位置關(guān)系，基本不等式.