【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)令,是否存在實(shí)數(shù),當(dāng)是自然常數(shù))時,函數(shù)的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

(3)當(dāng)時,證明:.

【答案】1;2存在實(shí)數(shù)a=e2,使得當(dāng)x∈(0,e]時g(x)有最小值3;(3)詳見解析

【解析】

試題分析:(1)首先將問題轉(zhuǎn)化為在[1,2]上恒成立,然后將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)即可得出所求的結(jié)果;(2)首先假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值3,并求出其導(dǎo)函數(shù),然后對其進(jìn)行分類討論:當(dāng)a≤0時;當(dāng);當(dāng),分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并求出其最值即可得出所求的結(jié)果;(3)首先令F(x)=e2x﹣lnx,由(2)知,F(xiàn)(x)min,然后,并求出其導(dǎo)函數(shù),進(jìn)而得出其最大值,最后得出不等式成立.

試題解析(1)在[1,2]上恒成立,

令h(x)=2x2+ax﹣1,有,得.

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值3,

當(dāng)a≤0時,g(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(舍去),

當(dāng)時,g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

,a=e2,滿足條件.

當(dāng)時,g(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(舍去),

綜上,存在實(shí)數(shù)a=e2,使得當(dāng)x∈(0,e]時g(x)有最小值3.

(3)令F(x)=e2x﹣lnx,由(2)知,F(xiàn)(x)min=3.令,

當(dāng)0<x≤e時,'(x)≥0,φ(x)在(0,e]上單調(diào)遞增

,即

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;

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