Question

9．.曲線(xiàn)$y=\sqrt{4-{x^2}}+1（-2≤x≤2）$與直線(xiàn)y=kx-2k+4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是$\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，以及直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論．利用數(shù)形結(jié)合作出圖象進(jìn)行研究即可．

解答 解：由y=k（x-2）+4知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)（2，4），將y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，兩邊平方得x²+（y-1）²=4，
則曲線(xiàn)是以（0，1）為圓心，2為半徑，且位于直線(xiàn)y=1上方的半圓．
當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（-2，1）時(shí)，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
此時(shí)1=-2k+4-2k，
解得k=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)相切時(shí)，直線(xiàn)和圓有一個(gè)交點(diǎn)，
圓心（0，1）到直線(xiàn)kx-y+4-2k=0的距離d=$\frac{|3-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，
解得k=$\frac{5}{12}$，
要使直線(xiàn)l：y=kx+4-2k與曲線(xiàn)y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
則直線(xiàn)l夾在兩條直線(xiàn)之間，
因此$\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$，
故答案為：$\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．