Question

10．已知由甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生組成的四人沖關(guān)小組，參加由安徽衛(wèi)視推出的大型戶外競(jìng)技類活動(dòng)《男生女生向前沖》，活動(dòng)共有四關(guān)，設(shè)男生闖過(guò)一至四關(guān)的概率依次是$\frac{5}{6}，\frac{4}{5}，\frac{3}{4}，\frac{2}{3}$，女生闖過(guò)一至四關(guān)的概率依次是$\frac{4}{5}，\frac{3}{4}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$．
（1）求男生闖過(guò)四關(guān)的概率；
（2）設(shè)ε表示四人沖關(guān)小組闖過(guò)四關(guān)的人數(shù)，求隨機(jī)變量?的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．
（2）記女生四關(guān)都闖過(guò)為事件B，則$P（B）=\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$，?的取值可能為0，1，2，3，4，利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）記男生四關(guān)都闖過(guò)為事件A，則$P（A）=\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$．
（2）記女生四關(guān)都闖過(guò)為事件B，則$P（B）=\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$，
因?yàn)?P（{ε=0}）={（{\frac{2}{3}}）^2}{（{\frac{4}{5}}）^2}=\frac{64}{225}$，$P（{ε=1}）=C_2^1\frac{1}{3}•\frac{2}{3}{（{\frac{4}{5}}）^2}+C_2^1\frac{1}{5}•\frac{4}{5}•{（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{96}{225}$，$P（{ε=2}）=C_2^2{（{\frac{1}{3}}）^2}{（{\frac{4}{5}}）^2}+C_2^2{（{\frac{1}{5}}）^2}{（{\frac{2}{3}}）^2}+C_2^1\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•C_2^1•\frac{1}{5}•\frac{4}{5}=\frac{52}{225}$，$P（{ε=3}）=C_2^1\frac{1}{3}•\frac{2}{3}{（{\frac{1}{5}}）^2}+C_2^1\frac{1}{5}•\frac{4}{5}•{（{\frac{1}{3}}）^2}=\frac{12}{225}$，$P（{ε=4}）={（{\frac{1}{3}}）^2}{（{\frac{1}{5}}）^2}=\frac{1}{225}$．
所以的分布列如下：

?	0	1	2	3	4
P	$\frac{64}{225}$	$\frac{96}{225}$	$\frac{52}{225}$	$\frac{12}{225}$	$\frac{1}{225}$

∴E（?）=$0×\frac{64}{225}$+1×$\frac{96}{225}$+2×$\frac{52}{225}$+3×$\frac{12}{225}$+4×$\frac{1}{225}$=$\frac{16}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．