Question

6．已知函數(shù)f（x）=x-alnx+$\frac{x}$在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求a與b滿足的關系式；
（Ⅱ）若a＞3，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若a＞3，函數(shù)g（x）=a²x²+3，若存在m₁，m₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導函數(shù)，利用函數(shù)在x=1處取得極值，可得a與b滿足的關系式；
（Ⅱ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導函數(shù)，確定分類標準，從而可得函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）當a＞3時，確定f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值，g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值，要使存在m₁，m₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要|f（x）_max-g（x）_min|＜9，即可求得a的取值范

解答 解：（Ⅰ）求導函數(shù)可得f′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{{x}^{2}}$，
由f′（1）=0得b=1-a；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
由（Ⅰ）可得f′（x）=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，則x₁=1，x₂=a-1，
∵a＞3，
∴x₂=a-1＞2，
令f′（x）＞0，解得：x＞a-1或0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜a-1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，a-1）遞減，在（a-1，+∞）遞增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
當a＞3時，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）上為增函數(shù)，在（1，2]為減函數(shù)，
∴f（x）的最大值為f（1）=2-a＜0，
∵函數(shù)g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上是單調遞增函數(shù)，
∴g（x）的最小值為g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$a²+3＞0，
∴g（x）＞f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．                            
要使存在m₁，m₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，
只需要g（$\frac{1}{2}$）-f（1）＜9，即$\frac{1}{4}$a²+3-（2-a）＜9，
∴-8＜a＜4，
又∵a＞3，
∴a的取值范圍是（3，4）．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是正確求導，確定分類標準，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題．