Question

5．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+3cosα\\ y=-3+3sinα\end{array}$（α為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρcosθ-2ρsinθ-3=0．
（1）分別寫出曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標方程；
（2）若曲線C₁與曲線C₂交于P、Q兩點，求△POQ的面積．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+3cosα\\ y=-3+3sinα\end{array}$（α為參數(shù)），利用平方關系消去α可得普通方程．曲線C₂的極坐標方程為ρcosθ-2ρsinθ-3=0，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）圓心（2，-3）到直線的距離d，可得弦長|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-tac8olx^{2}}$．△POQ的高h為一點到直線的距離，可得S_△POQ=$\frac{1}{2}$h|PQ|．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+3cosα\\ y=-3+3sinα\end{array}$（α為參數(shù)），利用平方關系可得：（x-2）²+（y+3）²=9．
曲線C₂的極坐標方程為ρcosθ-2ρsinθ-3=0，利用互化公式可得直角坐標方程：x-2y-3=0．
（2）圓心（2，-3）到直線的距離d=$\frac{|2-2×（-3）-3|}{\sqrt{1+4}}$=$\sqrt{5}$．∴弦長|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-gtl7mjg^{2}}$=4．
△POQ的高h為一點到直線的距離，∴h=$\frac{|-3|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$h|PQ|=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{5}}{5}$×4=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、弦長公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．