Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2{e^x}}}{x}$．
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線(xiàn)方程為ax-y=0，求x₀的值；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f（x）＞2x．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線(xiàn)方程求出x₀的值即可；（2）構(gòu)造函數(shù)g（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）${f^，}（x）=2×\frac{{{e^x}x-{e^x}}}{x^2}$，因?yàn)榍芯�(xiàn)ax-y=0過(guò)原點(diǎn)，
所以$\frac{{{e^{x_0}}{x_0}-{e^{x_0}}}}{{{x_0}^2}}=\frac{{\frac{{{e^{x_0}}}}{x_0}}}{x_0}$，解得：x₀=2；
證明：（2）$設(shè)g（x）=\frac{f（x）}{2x}=\frac{e^x}{x^2}（x＞0），則{g^，}（x）=\frac{{{e^x}（{{x^2}-2x}）}}{x^4}$，$令{g^，}（x）=\frac{{{e^x}（{{x^2}-2x}）}}{x^4}=0$，解得x=2．
x在（0，+∞）上變化時(shí)，g，（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
g，（x）	-	0	+
g（x）	遞減	$\frac{e^2}{4}$	遞增

所以，當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取得最小值$\frac{e^2}{4}$，
所以，當(dāng)x＞0時(shí)，$g（x）≥\frac{e^2}{4}＞1，即f（x）＞2x$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．