Question

14．設(shè)有兩個命題，p：關(guān)于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是$0＜a≤\frac{1}{2}$或a≥1．

Answer 1

分析 p：關(guān)于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，則0＜a＜1；q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域為R，a=0時不成立，a≠0時，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a范圍．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p與q必然一真一假．

解答 解：p：關(guān)于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，則0＜a＜1；
q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域為R，a=0時不成立，a≠0時，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得$0＜a＜\frac{1}{2}$．
如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≤0或a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥1}\\{0＜a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}≤a＜1$
則實數(shù)a的取值范圍是．
故答案為：$0＜a≤\frac{1}{2}$或a≥1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．