【題目】已知函數(shù)).

(I)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(II)若上無(wú)極值點(diǎn),求的值;

(III)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.

【答案】(1); (2)時(shí)函數(shù)上無(wú)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)上有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)上有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

(I)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線的斜率,先求,,利用直線方程的點(diǎn)斜式求解. (II)因?yàn)?/span>,所以若上無(wú)極值點(diǎn),則,即,,解得.

(III)討論當(dāng)時(shí),上的符號(hào), 函數(shù)的單調(diào)性、極值情況,從而分析

函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(I)當(dāng)時(shí),,

,,

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

(II),,依題意有,即

,解得.

(III)(1)時(shí),函數(shù)上恒為增函數(shù)且,函數(shù)上無(wú)零點(diǎn).

(2)時(shí):

當(dāng),函數(shù)為增函數(shù);

當(dāng),,函數(shù)為減函數(shù);

當(dāng),,函數(shù)為增函數(shù).

由于,此時(shí)只需判定的符號(hào):

當(dāng)時(shí),函數(shù)上無(wú)零點(diǎn);

當(dāng)時(shí),函數(shù)上有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)時(shí),函數(shù)上有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上,時(shí)函數(shù)上無(wú)零點(diǎn);

當(dāng)時(shí),函數(shù)上有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)時(shí),函數(shù)上有兩個(gè)零點(diǎn).

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2)該校推薦選拔測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>110以上的學(xué)生代表學(xué)校參加市知識(shí)競(jìng)賽,為了了解情況,在該校推薦參加市知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求選取的兩人的選拔成績(jī)?cè)陬l率分布直方圖中處于不同組的概率.

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(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,

①當(dāng)時(shí),求的最小值;

②當(dāng)時(shí),求的值.

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1)求,;

2)寫(xiě)出的遞推關(guān)系);

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