Question

2．已知圓C：x²+y²+2x-8y+m=0與拋物線上E：y²=8x的準(zhǔn)線l相切，拋物線E上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為d，Q為圓C上任意一點(diǎn)，則|PQ|+d的最小值等于（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 圓C：x²+y²+2x-8y+m=0與拋物線上E：y²=8x的準(zhǔn)線l相切，求出圓心與半徑，拋物線y²=8x的準(zhǔn)線為l：x=-2，焦點(diǎn)為F（2，0），當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，P到點(diǎn)Q的距離d與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離|PQ|之和最小，從而d+|PQ|的最小值為|FC|-r．

解答 解：圓C：x²+y²+2x-8y+m=0配方，得（x+1）²+（y-4）²=17-m，圓心為C（-1，4），半徑r=$\sqrt{17-m}$．
∵圓C與拋物線上E：y²=8x的準(zhǔn)線l相切，∴$\sqrt{17-m}$=1，∴m=16
如圖所示，由題意，知拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為F（2，0），連接PF，則d=|PF|．
d+|PQ|=|PF|+|PQ|，顯然，|PF|+|PQ|≥|FQ|（當(dāng)且僅當(dāng)F，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）．
而|FQ|為圓C上的動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F的距離，
顯然當(dāng)F，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，
最小值為|CF|-r=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（4-0）^{2}}$-1=5-1=4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段和的最小值的求法，考查拋物線的定義，是中檔題，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．