Question

2．已知焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程為$y=±\frac{3}{4}x$的雙曲線和曲線$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$的離心率之積為1，則b的值 為（　�。�

• A． $\frac{6}{5}$
• B． 3
• C． 3或4
• D． $\frac{6}{5}$或$\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 由雙曲線的漸近線方程，可得$\frac{b'}{a}$=$\frac{3}{4}$，再由離心率公式可得雙曲線的離心率，由條件可得橢圓的離心率，討論橢圓焦點(diǎn)位置，解方程即可得到所求b的值．

解答 解：設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{b{'}^{2}}$=1（a＞0，b'＞0），
漸近線方程為$y=±\frac{3}{4}x$，可得$\frac{b'}{a}$=$\frac{3}{4}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b'}{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$=$\frac{5}{4}$，
由題意可得曲線$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$的離心率為$\frac{4}{5}$．
可得當(dāng)b＞2時(shí)，有$\frac{\sqrt{^{2}-4}}$=$\frac{4}{5}$，解得b=$\frac{10}{3}$；
當(dāng)0＜b＜2時(shí)，有$\frac{\sqrt{4-^{2}}}{2}$=$\frac{4}{5}$，解得b=$\frac{6}{5}$．
綜上可得b=$\frac{6}{5}$或$\frac{10}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線和橢圓的離心率的求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．