如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α所成的角為
π
4
，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=3A'B'，則AB與平面β所成的角的正弦值是（　　）
A．
14
6
B．
5
5
C．
22
6
D．
3
3

連接AB‘，BA’，
∵平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α所成的角為
π
4
，
過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，
∴∠B′AB=
π
4
，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB與平面β所成的角，
設(shè)A′B′=a，∵AB=3A'B'，∴AB=3a，
設(shè)AB′=BB′=x，則2x2=9a2，解得AB′=BB′=
3
2
2
a，
∴A′B=
9a2
2
+a2
=
22
2
a，AA′=
9a2-
11
2
a2
=
14
2
a，
∴sin∠ABA′=
14
2
a
3a
=
14
6
．
故選A．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，平面∥平面，點(diǎn)A∈，C∈，點(diǎn)B∈，D∈,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.
（1）求證：EF∥;
（2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60°，
求EF的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知四面體S－ABC中，SA⊥底面ABC，△ABC是銳角三角形，H是點(diǎn)A在面SBC上的射影．求證：H不可能是△SBC的垂心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為A1B1、B1C1、C1D1的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AG與BF所成角的余弦值；
（2）求證：AG∥平面BEF；
（3）試在棱BB1上找一點(diǎn)M，使DM⊥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

P是平面ABCD外的點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，
AB
=（2，-1，-4），
AD
=（4，2，0），
AP
=（-1，2，-1）．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）對于向量
a
=（x1，y1z1），
b
=(x2y2z2)，
c
=(x3y3z3)，定義一種運(yùn)算：(
a
×
b
)•
c
=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2z3-x3y2z1，試計(jì)算(
AB
×
AD
)-
AP
的絕對值；說明其與幾何體P-ABCD的體積關(guān)系，并由此猜想向量這種運(yùn)算(
AB
×
AD
)-
AP
的絕對值的幾何意義．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=
3
，AD=2
2
，P為C1D1的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求AD與平面AMP所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-AM-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．
（1）求AC1的長；
（2）求異面直線AC1與A1B所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=AA1=1，AB=2．
（1）求證：A1C1⊥平面BCC1B1；
（2）求平面A1BD與平面BCC1B1所成二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖直角梯形OABC中，∠COA=∠AOB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分別以O(shè)C，OA，OS為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz．
（Ⅰ）求
SC
與
OB
夾角的余弦值；
（Ⅱ）求OC與平面SBC夾角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角S-BC-O．

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同步練習(xí)冊答案