Question

14．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2，截面AB₁C₁D與底面ABCD所成二面角的正切值為2，則B₁點到平面AD₁C的距離為（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由AB₁⊥AD，AB⊥AD，知∠BAB₁是截面AB₁C₁D與底面ABCD所成二面角，由截面AB₁C₁D與底面ABCD所成二面角的正切值為2，求出BB₁=2AB=4，以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出B₁點到平面AD₁C的距離．

解答 解：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2，
∴AB₁⊥AD，AB⊥AD，
∴∠BAB₁是截面AB₁C₁D與底面ABCD所成二面角，
∵截面AB₁C₁D與底面ABCD所成二面角的正切值為2，
∴tan∠BAB₁=$\frac{B{B}_{1}}{AB}$=2，∴BB₁=2AB=4，
以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
A（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，4），B₁（2，2，4），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，4），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，4），
設(shè)平面AD₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-2x+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
∴B₁點到平面AD₁C的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{8}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查點到平面的距離、二面角等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．