Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a{e^x}}}{x^2}$（a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{2}{x}$-lnx，若g（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=1代入f（x），求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為即y=e^x和y=$\frac{x}{a}$在（0，2）有2個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴∴f（x）在（0，2）遞減，在（-∞，0），（2，+∞）遞增；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-$\frac{2}{x}$-lnx=$\frac{{a{e^x}}}{x^2}$-$\frac{2}{x}$-lnx，x∈（0，2），
g′（x）=$\frac{（x-2）（{ae}^{x}-x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，2），
若g（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則h（x）=ae^x-x在（0，2）有2個(gè)實(shí)數(shù)根，
即e^x=$\frac{x}{a}$在（0，2）有2個(gè)實(shí)數(shù)根，
即y=e^x和y=$\frac{x}{a}$在（0，2）有2個(gè)交點(diǎn)，
如圖示：，
由e²=$\frac{2}{a}$，解得：a=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
若g（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則a＞$\frac{2}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．