Question

5．討論當(dāng)k為何值時，直線y=kx+2與圓x²+y²=1：
（1）相交？
（2）相切？
（3）相離？

Answer 1

分析 由圓的方程求出圓心和半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到直線的距離，
（1）由直線與圓相交的條件列出不等式，求出k的取值范圍；
（2）由直線與圓相切的條件列出方程，求出k的值；
（3）由直線與圓相離的條件列出不等式，求出k的取值范圍．

解答 解：由題意得，圓的半徑為1、圓心坐標(biāo)是（0，0），
∴圓心（0，0）到直線y=kx+2距離d=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
（1）∵直線y=kx+2與圓x²+y²=1相交，
∴$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，解得k＜$-\sqrt{3}$或k＞$\sqrt{3}$，
則k的取值范圍是$（-∞，-\sqrt{3}）∪（\sqrt{3}，+∞）$；
（2）∵直線y=kx+2與圓x²+y²=1相切，
∴$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k＜$-\sqrt{3}$或k＞$\sqrt{3}$，
則k的值是$-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$；
（3）∵直線y=kx+2與圓x²+y²=1相離，
∴$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＞1，解得$-\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{3}$，
則k的取值范圍是（$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法：幾何法，及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查化簡、計(jì)算能力．