如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點（1，
3
2
），離心率為
3
2
，又橢圓內接四邊形ABCD（點A、B、C、D在橢圓上）的對角線AC，BD相交于點P（1，
1
4
），且
AP
=2
PC
，
BP
=2
PD
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線AB的斜率．
考點：橢圓的標準方程,直線的一般式方程
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）利用橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點（1，
3
2
），離心率為
3
2
，建立方程，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）確定C的坐標，代入橢圓方程，整理可得x1+y1=-
1
8
，同理可得x2+y2=-
1
8
，兩試相減，即可求直線AB的斜率．
解答： 解：（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點（1，
3
2
），離心率為
3
2
，
∴
c
a
=
3
2
，
1
a2
+
3
4
b2
=1
∴a=2，b=1，
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1；
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），
∵
AP
=2
PC
，∴C（
3-x1
2
，
3-4y1
8
），
代入橢圓方程，整理可得x1+y1=-
1
8
①，
同理可得x2+y2=-
1
8
②，
①-②，可得直線AB的斜率為-1．
點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求值：
（1）16 
1
2
+（
1
81
）-0.25-（-
1
2
）0        
（2）log23•log34•log45•log56•log67•log78
（3）lod256-log27                  
（4）（lg2）2+lg2•lg50+lg25．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間[0，2]上的兩個函數(shù)f（x）和g（x），其中f（x）=x2-2ax+4（a≥1），g（x）=
2x
x+1
．
（1）若f（x）在x∈[1，3]上有零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)y=f（x）的最小值m（a）及g（x）的值域；
（3）若對任意x1、x2∈[0，2]，f（x2）＞g（x1）恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩點A（-2，-2），B（-4，0），直線l：y=kx+2．
（1）直線AB⊥l，求k的值；
（2）直線 l與線段AB有交點，求k的取值范圍；
（3）直線 l截以AB為直徑的圓所得弦長為
2
41
5
，求k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知四點坐標：A（-1，3），B（1，1），C（4，4），D（3，5）．
（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形；
（2）求cos∠DAB的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段（即六組）[40，50），[50，60），…[90，100]后，畫出如圖部分頻率分布直方圖．請根據(jù)圖形的信息，回答下列問題：
（1）求第四小組的頻率并在圖中將頻率直方圖補充完整；
（2）估計這次考試成績的中位數(shù)和及格率（60分及以上為及格）；
（3）用分層抽樣的方法從成績在[40，50）和[70，80]的學生中共抽取4人，在抽出的4人中任取2人，求成績在[40，50）和[70，80]中各有1人的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知f（α）=
sin(π-α)cos(2π-α)
sin(
π
2
+α)tan(π+α)
，求f（
31π
3
）
（2）已知cos（
π
2
+α）=2sin（α-
π
2
），求：
sin(π-α)+cos(α+π)
5cos(
5π
2
-α)+3sin(
7π
2
-α)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線y2=2px（p＞0）上的點T（3，t）到焦點F的距離為4．
（1）求
t
p
的值；
（2）設拋物線的準線與x軸的交點為M．問：是否存在過M的直線l交拋物線于A、B（B在A的右側）兩點，使得直線AF⊥OB？若存在，求出△AFB的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

Rt△ABC的三邊長分別是AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，求所得到的旋轉體的表面積和體積．

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同步練習冊答案