已知長方體中，底面為正方形，面，，，點在棱上，且．

（Ⅰ）試在棱上確定一點，使得直線平面，并證明；
（Ⅱ）若動點在底面內(nèi)，且，請說明點的軌跡，并探求長度的最小值．
（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）點在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，半徑等于2的四分之一圓弧，且長度的最小值為．

試題分析：（Ⅰ）先利用證明四邊形為平行四邊形證明從而證明直線平面，或者可以以平面為已知條件出發(fā)，利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到，進而確定點的位置；（Ⅱ）先確定四邊形的形狀以及各邊的長度，然后再根據(jù)以及點為定點這一條件確定點的軌跡，在計算的過程中，可以利用平面以及從而得到平面，于是得到，進而可以由勾股定理，從而將問題轉(zhuǎn)化為當取到最小值時，取到最小值.
試題解析：（Ⅰ）取的四等分點，使得，則有平面. 證明如下：   1分
因為且，
所以四邊形為平行四邊形，則，   2分
因為平面，平面，所以平面．   4分
（Ⅱ）因為,所以點在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，半徑等于2的四分之一圓�。�      6分
因為，面，所以面，       7分
故．      8分
所以當的長度取最小值時，的長度最小，此時點為線段和四分之一圓弧的交點，      10分

即，
所以．
即長度的最小值為．      12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知中，，，為的中點，分別在線段上的動點，且，交于，把沿折起，如下圖所示，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當二面角為直二面角時，是否存在點，使得直線與平面所成的角為，若存在求的長，若不存在說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，,平面底面，為中點，M是棱PC上的點，．

（1）若點M是棱PC的中點，求證：平面；
（2）求證：平面底面；
（3）若二面角M-BQ-C為，設PM=tMC，試確定t的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面四邊形的4個頂點都在球的表面上，為球的直徑，為球面上一點，且平面 ，，點為的中點.
(1) 證明：平面平面；
(2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖：在三棱錐中，已知點、、分別為棱、、的中點．
（1）求證：∥平面；
（2）若，，求證：平面⊥平面．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設為直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（    ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

對于空間的兩條直線，和一個平面，下列命題中的真命題是（ ）
A．若，，則B．若 ，，則
C．若，，則D．若， ，則

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

直三棱柱中，，，、分別為、的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求四面體的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=1200，則AB與平面ADC所成角的正弦值為         

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