5.已知a∈R,函數(shù)f(x)=x2-a|x-1|.
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)當(dāng)a<0時,討論y=f(x)的圖象與y=|x-a|的圖象的公共點個數(shù).

分析 (1)由a=1時,求得f(x)的解析式,當(dāng)x≥1時,由二次函數(shù)的對稱軸可知:x=-$\frac{2a}$=$\frac{1}{2}$,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性f(x)≥f(1)=1;當(dāng)x<1時,f(x)≥f(-$\frac{1}{2}$)=-$\frac{5}{4}$. 即可求得函數(shù)f(x)的最小值;
(2)當(dāng)a<0時,設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=x2-a|x-1|-|x-a|,求得函數(shù)的g(x)的解析式,分類,根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)即可求得函數(shù)的解的個數(shù).

解答 解:(1)由a=1時,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+1,x≥1}\\{{x}^{2}+x-1,x<1}\end{array}\right.$,
當(dāng)x≥1時,由二次函數(shù)的對稱軸可知:x=-$\frac{2a}$=$\frac{1}{2}$,
∴f(x)≥f(1)=1;
當(dāng)x<1時,由二次函數(shù)的對稱軸可知:x=-$\frac{2a}$=$\frac{1}{2}$,
f(x)≥f(-$\frac{1}{2}$)=-$\frac{5}{4}$.
所以,f(x)min=f(-$\frac{1}{2}$)=-$\frac{5}{4}$;
(2)當(dāng)a<0時,設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=x2-a|x-1|-|x-a|;
a<0時,h(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-(a+1)x+2a,x≥1}\\{{x}^{2}+(a-1)x,a≤x<1}\\{{x}^{2}+(a+1)x-2a,x<a}\end{array}\right.$,
x≥1時,h(1)=a<0.
∴x≥1時,一個零點.
a≤x<1時,解得:x1=0,x2=1-a>1,(舍去)
所以,當(dāng)a≤x<1時,有且僅有一個零點.
x<a時,△=a2+10a+1,對稱軸x=-$\frac{a+1}{2}$,h(a)=a(2a-1)>0,
所以(ⅰ)a≤-$\frac{1}{3}$時,△>0,對稱軸x=-$\frac{a+1}{2}$≥a,無零點;
(ⅱ)-$\frac{1}{3}$<a<-5+2$\sqrt{6}$時,△=a2+10a+1<0,無零點;
(ⅲ)a=-5+2$\sqrt{6}$時,x=2-$\sqrt{6}$<a=-5+2$\sqrt{6}$,一個零點;
(ⅳ)-5+2$\sqrt{6}$<a<0時,
△=a2+10a+1>0,對稱軸x=-$\frac{a+1}{2}$<a,兩個零點.
綜上,(。゛<-5+2$\sqrt{6}$時,y=f(x)與y=g(x)的圖象的公共點有2個;
(ⅱ)a=-5+2$\sqrt{6}$時,y=f(x)與y=g(x)的圖象的公共點有3個;
(ⅲ)-5+2$\sqrt{6}$<a<0時,y=f(x)與y=g(x)的圖象的公共點有4個.

點評 本題考查考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),考查分段函數(shù)及絕對值函數(shù)的應(yīng)用,考查函數(shù)的解析式應(yīng)用,考查計算能力,考查分類討論思想,屬于中檔題.

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