Question

13．已知函數$f（x）=1-\frac{3}{x+2}$，x∈[3，5]．
（1）利用定義證明函數f（x）單調遞增；
（2）求函數f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據函數單調性的定義證明函數的單調性，注意取值、作差、變形和定符號和下結論；
（2）運用函數的單調性，從而求出函數的最值．

解答 解：（1）證明：令3≤x₁＜x₂≤5，
則f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{3}{{x}_{1}+2}$-（1-$\frac{3}{{x}_{2}+2}$）
=-3（$\frac{1}{{x}_{1}+2}$-$\frac{1}{{x}_{2}+2}$）=-3•$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$，
∵3≤x₁＜x₂≤5，∴x₂-x₁＞0，（x₁+2）（x₂+2）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[3，5]遞增；
（2）由f（x）在[3，5]遞增，
可得f（3）取得最小值1-$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{5}$；
f（5）取得最大值1-$\frac{3}{7}$=$\frac{4}{7}$．

點評 本題考查了函數的單調性的定義，考查求函數的值域問題，是一道基礎題．