Question

5．已知點M（m，m²），N（n，n²），其中m，n是關(guān)于x的方程sinθ•x²+cosθ•x-1=0（θ∈R）的兩個不等實根．若圓O：x²+y²=1上的點到直線MN的最大距離為d，且正實數(shù)a，b，c滿足abc+b²+c²=4d，則log₄a+log₂b+log₂c的最大值是（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 m，n是關(guān)于x的方程sinθ•x²+cosθ•x-1=0（θ∈R）的兩個不等實根．可得m+n=$\frac{-cosθ}{sinθ}$，mn=$\frac{-1}{sinθ}$，由直線MN的方程為：y-m²=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{m-n}$（x-m），化簡代入可得：xcosθ+ysinθ-1=0．圓O：x²+y²=1的圓心O（0，0）到直線MN的距離為1，可得圓O上的點到直線MN的最大距離為d=2，由正實數(shù)a，b，c滿足abc+b²+c²=4d=8，利用基本不等式的性質(zhì)與對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵m，n是關(guān)于x的方程sinθ•x²+cosθ•x-1=0（θ∈R）的兩個不等實根．∴m+n=$\frac{-cosθ}{sinθ}$，mn=$\frac{-1}{sinθ}$，
直線MN的方程為：y-m²=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{m-n}$（x-m），化為：y=（m+n）x-mn，∴xcosθ+ysinθ-1=0．
圓O：x²+y²=1的圓心O（0，0）到直線MN的距離$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}$=1，
∴圓O上的點到直線MN的最大距離為d=1+1=2，
∴正實數(shù)a，b，c滿足abc+b²+c²=4d=8，
∴8≥abc+2bc≥2$\sqrt{2a^{2}{c}^{2}}$，化為：ab²c²≤8，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=$\sqrt{2}$，a=2時取等號．
則log₄a+log₂b+log₂c=$lo{g}_{4}（a^{2}{c}^{2}）$≤log₄8=$\frac{3}{2}$，其最大值是$\frac{3}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系、對數(shù)的運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．