Question

7．已知圓C：x²+y²=r²具有如下性質：若M，N是圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是圓C上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在時，記為k_PM，k_PN，則k_PM與k_PN之積是一個與點P的位置無關的定值．
利用類比思想，試對橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$寫出具有類似特征的性質，并加以證明．

Answer 1

分析 先類比得出結論，再進行證明即可．

解答 解：性質如下：若M，N是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在時，記為k_PM，k_PN，則k_PM與k_PN之積是與點P的位置無關的定值． …（4分）
證明：M（m，n），N（-m，-n），P（x₀，y₀）．
則${k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{{{y_0}+n}}{{{x_0}+m}}•\frac{{{y_0}-n}}{{{x_0}-m}}=\frac{{{y_0}^2-{n^2}}}{{{x_0}^2-{m^2}}}$，由點均在橢圓上，${y_0}^2=-\frac{b^2}{a^2}{x_0}^2$，${n^2}=-\frac{b^2}{a^2}{m^2}$
化簡得${k_{PM}}•{k_{PN}}=-\frac{b^2}{a^2}$．  …（12分）

點評 本題考查類比思想，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．