Question

8．定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log₃x，則方程$f（x）=f（0）-\frac{1}{3}$在區(qū)間（0，10）內(nèi)所有的實(shí)根之和為30．

Answer 1

分析 由題意求出函數(shù)周期，并求得方程$f（x）=f（0）-\frac{1}{3}$的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每個(gè)區(qū)間上存在兩個(gè)關(guān)于區(qū)間中間值對(duì)稱的兩解．然后結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得答案．

解答 解：∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，f（-x）=-f（x），
又f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴f（1+x）=f（1-x），
可得f（2+x）=f（-x）=-f（x），
∴f（4+x）=-f（2+x）=-[-f（x）]=f（x）．
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log₃x≤0，
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，0＜-x≤1，∴f（-x）=log₃（-x），則f（x）=-log₃（-x）≥0．
$f（x）=f（0）-\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$＜0．
∴方程$f（x）=f（0）-\frac{1}{3}$的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每個(gè)區(qū)間上存在兩個(gè)關(guān)于區(qū)間中間值對(duì)稱的兩解．
則方程$f（x）=f（0）-\frac{1}{3}$在區(qū)間（0，10）內(nèi)所有的實(shí)根之和為2×1+2×5+2×9=30．
故答案為：30．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，考查了函數(shù)的奇偶性與周期性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．