Question

7．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，其左焦點(diǎn)F在直線l上．
（1）若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求|FA|•|FB|的值；
（2）求橢圓C的內(nèi)接矩形周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）將直線l和橢圓C的轉(zhuǎn)化為普通方程，左焦點(diǎn)F在直線l上，求解出直線1方程與橢圓C聯(lián)立方程組，求解A，B坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解|FA|•|FB|的值．（也可以利用參數(shù)的幾何意義做）．
（2）設(shè)橢圓在第一象限上一點(diǎn)P（acosθ，bsinθ），內(nèi)接矩形周長為：L=4（acosθ+bsinθ）=4$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（θ+φ），可得答案．

解答 解：（1）由橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，
可得x²+3y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．其左焦點(diǎn)為（-2$\sqrt{2}$，0）．直線l消去參數(shù)t可得：x-y=m，
∵左焦點(diǎn)F在直線l上，
∴直線l方程為：x-y=-2$\sqrt{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{x-y=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$），B（$-\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$）
那么|FA|•|FB|=2．
法二：幾何法：
∵左焦點(diǎn)為（-2$\sqrt{2}$，0）．
左焦點(diǎn)F在直線l上，帶入?yún)��?shù)方程可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
將直線參數(shù)方程帶入橢圓x²+3y²=12，可得：t²-2t-2=0．
那么|FA|•|FB|=|t₁t₂|=2
（2）設(shè)橢圓在第一象限上一點(diǎn)P（2$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），（$0＜θ＜\frac{π}{2}$）
內(nèi)接矩形周長為：L=8$\sqrt{3}$cosθ+8sinθ）=16sin（θ+$\frac{π}{3}$），
∴當(dāng)$θ=\frac{π}{6}$時(shí)，周長取得最大值為為16．
∴橢圓C的內(nèi)接矩形周長的最大值為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用平面幾何知識(shí)解決最值問題．