Question

3．下表是某廠改造后產(chǎn)量x噸產(chǎn)品與相應(yīng)生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對照數(shù)據(jù)：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（2）已知技術(shù)改造前生產(chǎn)100噸該產(chǎn)品能耗90噸，試根據(jù)所求出的回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸該產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比改造前降低多少噸？
附：$\widehat$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個(gè)數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)$\widehat$的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點(diǎn)代入，求出$\widehat{a}$的值，得到線性回歸方程．
（2）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，即可估計(jì)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$═$\frac{1}{4}$（2.5+3+4+4.4）=3.5，
故$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{4}{{（x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}•\overline{y}）}{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}}$=0.7，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=0.35，
故$\widehat{y}$=0.7x+0.35…（8分）
（2）將x=100代入方程得：$\widehat{y}$=70.35，
生產(chǎn)100噸耗能70.35噸，降低90-70.35=19.65噸              …（12分）

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程，兩個(gè)變量之間的關(guān)系，除了函數(shù)關(guān)系，還存在相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程，就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個(gè)變量之間整體關(guān)系的了解．