【題目】如圖，三棱柱ABC﹣DEF中，側(cè)面ABED是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABE= ，BC= ，四棱錐F﹣ABED的體積為2，點(diǎn)F在平面ABED內(nèi)的正投影為G，且G在AE上，點(diǎn)M是在線段CF上，且CM= CF．
（Ⅰ）證明：直線GM∥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．

【答案】（Ⅰ）證明：∵四棱錐錐F﹣ABED的體積為2， 即VF﹣ABCD= ，∴FG= ．
又BC=EF= ，∴EG= ，即點(diǎn)G是靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)．
過點(diǎn)G作GK∥AD交DE于點(diǎn)K，∴GK= ．
又MF= ，∴MF=GK且MF∥GK．
四邊形MFKG為平行四邊形，
∴GM∥FK，
∴直線GM∥平面DEF；
（Ⅱ）設(shè)AE、BD的交點(diǎn)為O，OB所在直線為x軸，OE所在直線為y軸，
過點(diǎn)O作平面ABED的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
A（0，﹣1，0），B（ ，0，0），F(xiàn)（0，﹣ ， ），M（ ）．
， ， ．
設(shè)平面ABM，ABF的法向量分別為 ， ．
由 ，則 ，取y=﹣ ，得 ，
同理求得 ．
∴cos＜ ＞= ，
∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由四棱錐錐F﹣ABED的體積為2求出FG，進(jìn)一步求得EG，可得點(diǎn)G是靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)．過點(diǎn)G作GK∥AD交DE于點(diǎn)K，可得GK= ．又MF= ，得到MF=GK且MF∥GK．則四邊形MFKG為平行四邊形，從而得到GM∥FK，進(jìn)一步得到直線GM∥平面DEF；（Ⅱ）設(shè)AE、BD的交點(diǎn)為O，OB所在直線為x軸，OE所在直線為y軸，點(diǎn)O作平面ABED的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABM，ABF的法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知隨機(jī)變量X﹣N（1，1），其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（ ） 附：若隨機(jī)變量ξ﹣N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544．

A.6038
B.6587
C.7028
D.7539

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分別為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，則稱f（x）為“三角形函數(shù)”．給出下列四個(gè)函數(shù)： ①f（x）=lnx（e2≤x≤e3）；②f（x）=4﹣cosx；③ ；④ ．
其中為“三角形函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+ ，且f（x）+f（ ）=0，其中a，b為常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1的切線經(jīng)過點(diǎn)（2，5），求函數(shù)的解析式；
（2）已知0＜a＜1，求證：f（ ）＞0；
（3）當(dāng)f（x）存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A.（e2﹣3，e2+1）
B.（e2﹣3，+∞）
C.（﹣∞，2e2+2）
D.（2e2﹣6，2e2+2）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值為m．
（Ⅰ）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（Ⅱ）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣alnx（a＞0）的最小值是1．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f2（x）ex﹣6mf（x）+9me﹣x=0在區(qū)間[1，+∞）有唯一的實(shí)根，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且b，c是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的兩根．
（1）求角A的大小；
（2）已知a= ，設(shè)B=θ，△ABC的面積為y，求y=f（θ）的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若 = ，則這個(gè)三角形必含有（ ）
A.90°的內(nèi)角
B.60°的內(nèi)角
C.45°的內(nèi)角
D.30°的內(nèi)角

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案