Question

1．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+$\frac{1}{2}$x²-x，其中a為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：2f（x₂）-x₁＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）所證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（1+x₂）ln（x₂+1）-$\frac{1}{2}$x₂＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）-$\frac{1}{2}$x，x∈（0，1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），$f′（x）=\frac{a}{x+1}+x-1$=$\frac{{x}^{2}+a-1}{x+1}$．
①當(dāng)a-1≥0時(shí)，即a≥1時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f'（x）=0得${x}_{1}=-\sqrt{1-a}$，${x}_{2}=\sqrt{1-a}$，
故f（x）在（-1，-$\sqrt{1-a}$）上單調(diào)遞增，在（-$\sqrt{1-a}$，$\sqrt{1-a}$）上單調(diào)遞減，
在（$\sqrt{1-a}$，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0得x₁=$\sqrt{1-a}$，x₂=-$\sqrt{1-a}$（舍）
f（x）在（-1，$\sqrt{1-a}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{1-a}$，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，則0＜a＜1，${x}_{1}=-\sqrt{1-a}$，${x}_{2}=\sqrt{1-a}$，
∴x₁+x₂=0，x₁x₂=a-1且x₂∈（0，1），
要證2f（x₂）-x₁＞0?f（x₂）+$\frac{1}{2}$x₂＞0?aln（x₂+1）+$\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}$-$\frac{1}{2}$x₂＞0?（1+x₂）ln（x₂+1）-$\frac{1}{2}$x₂＞0，
令g（x）=（1+x）ln（x+1）-$\frac{1}{2}$x，x∈（0，1），
∵g′（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{2}$＞0，
∴g（x）在（0，1）遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴命題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的構(gòu)造與運(yùn)用，轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題