Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+2\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），曲線C的普通方程為x²-4x+y²-2y=0，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）若將直線l向右平移2個(gè)單位得到直線l′，設(shè)l′與C相交于A，B兩點(diǎn)，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線l的參數(shù)方程，消參可得直線l的普通方程，根據(jù)曲線C的普通方程，將x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入化簡(jiǎn)，可得曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）由題意得l′的普通方程為y=x，所以其極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$，聯(lián)立C的極坐標(biāo)方程，可得弦長(zhǎng)，求出弦心距，可得三角形面積．

解答 解：（1）根據(jù)題意，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+2\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）的普通方程為x-y+2=0，…（2分）
曲線C的普通方程為x²-4x+y²-2y=0，極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ+2sinθ（ρ∈R）…（5分）
（2）將直線l向右平移2個(gè)單位得到直線l′，
則l′的普通方程為y=x，
所以其極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$，
代入ρ=4cosθ+2sinθ得：ρ=3$\sqrt{2}$，
故|AB|=3$\sqrt{2}$，
因?yàn)镺P⊥l′，所以點(diǎn)P到直線l′的距離為2$\sqrt{2}$，
所以△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=6…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，三角形面積公式，難度中檔．