Question

12．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足$f（{\frac{3}{2}-x}）=f（x），f（{-2}）=-3$，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且S_n=2a_n+n，則f（a₅）+f（a₆）=3．

Answer 1

分析 由已知求得函數(shù)周期，再由數(shù)列遞推式求出數(shù)列通項，求得a₅、a₆的值，則答案可求．

解答 解：∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
又∵$f（{\frac{3}{2}-x}）=f（x）$，∴$f（{\frac{3}{2}-x}）=-f（{-x}）$．
∴$f（{3+x}）=f[{\frac{3}{2}-（{-\frac{3}{2}-x}）}]=-f[{\frac{3}{2}-（{-x}）}]=-f（{-x}）=f（x）$．
∴f（x）是以3為周期的周期函數(shù)．
∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，且S_n=2a_n+n，
∴當n≥2時，S_n-1=2a_n-1+n-1，
則a_n=2a_n-2a_n-1+1，即a_n=2a_n-1-1，
∴a_n-1=2（a_n-1-1）（n≥2），
則${a}_{n}-1=-2•{2}^{n-1}=-{2}^{n}$，∴${a}_{n}=1-{2}^{n}$．
上式對n=1也成立．
∴a₅=-31，a₆=-63．
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3．
故答案為：3．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查利用構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項公式，考查函數(shù)周期性的應用，是中檔題．