Question

19．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右頂點分別為A₁，A₂，點M為橢圓上不同于A₁，A₂的一點，若直線MA₁，MA₂與直線的斜率之積為$-\frac{1}{2}$，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)出M坐標(biāo)，由直線AM，BM的斜率之積為-$\frac{1}{2}$得一關(guān)系式，再由點M在橢圓上變形可得另一關(guān)系式，聯(lián)立后結(jié)合隱含條件求得橢圓的離心率．

解答 解：由橢圓方程可知，A（-a，0），B（a，0），
設(shè)M（x₀，y₀），∴${k}_{AM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，${k}_{BM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，
則$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{1}{2}$，整理得：$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，①
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1$，得${{y}_{0}}^{2}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$，
即$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，②
聯(lián)立①②，得-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，即$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．