Question

5．已知函數(shù)f（x）=2log₃（x-a）-1og₃（x+3）．
（1）當(dāng)a=3時，解不等式f（x）≥0；
（2）當(dāng)x∈（-3，+∞）時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=3時，不等式f（x）≥0可化為：2log₃（x-3）-1og₃（x+3）≥0．即$\frac{（x-3）^{2}}{x+3}≥1$，解得答案；
（2）（2）當(dāng)x∈（-3，+∞）時，f（x）≥0恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}-3-a≥0\\ \frac{{（x-a）}^{2}}{x+3}≥1\end{array}\right.$恒成立，解得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時，不等式f（x）≥0可化為：2log₃（x-3）-1og₃（x+3）≥0．
即$\frac{（x-3）^{2}}{x+3}≥1$，
解得：x≥6，或-3≤x≤1，
∵-3≤x≤1時，x-3＜0，故不滿足條件，
∴x≥6，
故原不等式的解集為：[6，+∞）；
（2）當(dāng)x∈（-3，+∞）時，f（x）≥0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}-3-a≥0\\ \frac{{（x-a）}^{2}}{x+3}≥1\end{array}\right.$恒成立，
即a≤-3，且x²-（2a+1）x+a²-3≥0在x∈（-3，+∞）時恒成立，
當(dāng)a+$\frac{1}{2}$≤-3，即a≤-$\frac{7}{2}$時，a²+6a+9≥0恒成立；
當(dāng)a+$\frac{1}{2}$＞-3，即-$\frac{7}{2}$＜a≤-3時，$\frac{4（{a}^{2}-3）-（2a+1）^{2}}{4}≥0$，解得：-$\frac{7}{2}$＜a≤-$\frac{13}{4}$，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為a≤-$\frac{13}{4}$．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，對數(shù)不等式的解法，難度中檔．