Question

20．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ+4cosθ-ρ=0（（ρ≥0），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0°≤α＜180°）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求α的值．

Answer 1

分析 （1）將極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$及ρ²=x²+y²，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程．當(dāng)α=90°時(shí)，直線l的普通方程為x=0，y∈R，當(dāng)α≠90°時(shí)，消去參數(shù)t，得直線l的普通方程．
（2）由已知，直線l過(guò)定點(diǎn)（0，1），將直線l的參數(shù)方程代入到y(tǒng)²=4x，得t²sin²α+2t（sinα-2cosα）+1=0，由已知?jiǎng)t△=0，對(duì)α分類(lèi)討論，即可得出．

解答 解：（1）將極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$及ρ²=x²+y²，
代入ρ²cos²θ+4ρcosθ-ρ²=0（，得x²+4x-x²-y²=0，
因而曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x，
當(dāng)α=90°時(shí)，直線l的普通方程為x=0，y∈R，
當(dāng)α≠90°時(shí)，消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為y=x•tanα+1．
（2）由已知，直線l過(guò)定點(diǎn)（0，1），
將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$代入到y(tǒng)²=4x，
得t²sin²α+2t（sinα-2cosα）+1=0
由已知?jiǎng)t△=（sinα-2cosα）²-4sin²α=0，
即4cosα（cosα-sinα）=0，∴cosα=0，cosα=sinα，則α=90°，α=45°，
又當(dāng)α=0°時(shí)直線l化為y=1，x∈R，此時(shí)與曲線C也只有一個(gè)交點(diǎn)，
從而所求α的值為0°，45°，90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)基本關(guān)系式、分類(lèi)討論，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．