Question

3．實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足|b-a+4|+（c+d²-3lnd）²=0，則（b-d）²+（a-c）²的最小值是18．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{c+etqem8z^{2}-3lnd=0①}\\{b-a+4=0②}\end{array}\right.$，（a-c）²+（b-d）²是曲線y=-x²+3lnx與直線y=x+4之間的最小距離的平方值，由此求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答 解：根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{c+6cz2szd^{2}-3lnd=0①}\\{b-a+4=0②}\end{array}\right.$，
①中，設(shè)c=y，d=x，則y=-x²+3lnx，（x＞0）；
②中，設(shè)b=x，a=y，則y=x+4；
∴（a-c）²+（b-d）²是曲線y=-x²+3lnx與直線y=x+4之間的最小距離的平方值；
對(duì)曲線y=-x²+3lnx求導(dǎo)，得y'（x）=-2x+$\frac{3}{x}$，
與y=x+4平行的切線斜率k=1=-2x+$\frac{3}{x}$，即2x²+x-3=0；
解得x=1，此時(shí)y=-1；
∴切點(diǎn)（1，-1）到直線y=x+4的距離為d=$\frac{6}{\sqrt{2}}$，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值是18．
故答案為18

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求最小值的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把所求的結(jié)論轉(zhuǎn)化為可解答的曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離問(wèn)題，是難題．