Question

已知橢圓：（a>b>0）的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在直線(xiàn)x=2上的點(diǎn)P（2, ）滿(mǎn)足|PF₂|=|F₁F₂|，直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、 B．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點(diǎn)Q，滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)l的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）橢圓方程為．
（Ⅱ）實(shí)數(shù)的取值范圍是．

解：（Ⅰ）依題意有
解得　　．
所求橢圓方程為． ………………………………………………5分
（Ⅱ）由得．
設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，
則  ………………7分,．
（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則．
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，
由，得      即
   點(diǎn)在橢圓上，有，
化簡(jiǎn)，得．
，有……①…10分
又，
由，得……②　…12分
由①、②兩式得．，，則且．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是．…………………14分